Jak najít oblast kruhového segmentu

Jedním z běžných geometrických problémů je výpočet plochy kruhového segmentu - části kruhu ohraničené akordem a odpovídajícího akordu oblouku kruhu.

Plocha kruhového segmentu se rovná rozdílu v oblasti odpovídajícího kruhového sektoru a plochy trojúhelníku tvořené poloměry odpovídajícího segmentu sektoru a akordem ohraničujícím segment.

Příklad 1

Délka akordu stahujícího kruh se rovná hodnotě a. Stupeň míry oblouku odpovídající tětivy je 60 °. Najděte oblast kruhového segmentu.

Řešení

Trojúhelník tvořený dvěma poloměry a akordem je rovnoramenný, takže výška nakreslená od vrcholu středového úhlu ke straně trojúhelníku tvořeného akordem bude také úkosem středního úhlu, na polovinu a na střední, na polovinu akordu. S vědomím, že sínus úhlu v pravoúhlém trojúhelníku se rovná poměru protilehlé strany k proponě, můžeme vypočítat poloměr:

Sin 30 ° = a / 2: R = 1/2;

R = a.

Plochu sektoru odpovídající danému úhlu lze vypočítat podle následujícího vzorce:

Sc = πR² / 360 ° * 60 ° = πa² / 6

Plocha trojúhelníku odpovídající sektoru se vypočítá takto:

S ▲ = 1/2 * ah, kde h je výška nakreslená od vrcholu středového úhlu k akordu. Podle Pythagorovy věty h = √ (R²-a² / 4) = *3 * a / 2.

V souladu s tím S = √3 / 4 * a².

Plocha segmentu, vypočtená jako Sseg = Sc - S ▲, se rovná:

Sseg = πa² / 6 - √3 / 4 * a²

Nahrazením číselné hodnoty místo a můžete snadno vypočítat číselnou hodnotu oblasti segmentu.

Příklad 2

Poloměr kruhu je roven a. Stupeň míry oblouku odpovídající segmentu je 60 °. Najděte oblast kruhového segmentu.