Jak řešit soustavy rovnic

Není obtížné řešit soustavu rovnic pomocí základních metod řešení soustav lineárních rovnic: substituční a adiční metody.

Návod k použití

1

Uvažujme metody řešení soustavy rovnic na příkladu systému dvou lineárních rovnic majících dvě neznámé hodnoty. Obecně je takový systém psán následovně (vlevo jsou rovnice kombinovány s složenou závorkou):

ax + b = c

dx + ey = f, kde

a, b, c, d, e, f jsou koeficienty (specifická čísla) a xay jsou jako obvykle neznámé. Čísla a, b, c, d se nazývají koeficienty pro neznámé a ac a f se nazývají volné termíny. Řešení takového systému rovnic je nalezeno dvěma hlavními metodami.

Řešení soustavy rovnic substituční metodou.

1. Vezmeme první rovnici a vyjádříme jednu z neznámých (x) z hlediska koeficientů a druhou neznámou (y):

x = (s-by) / a

2. Nahraďte výraz získaný pro x do druhé rovnice:

d (c-by) / a + ey = f

3. Při řešení výsledné rovnice najdeme výraz y:

y = (af-cd) / (ae-bd)

4. Nahraďte výsledný výraz pro y do výrazu pro x:

x = (ce-bf) / (ae-bd)

Příklad: potřebujete vyřešit systém rovnic:

3x-2r = 4

x + 3y = 5

Najděte hodnotu x z první rovnice:

x = (2r + 4) / 3

Nahraďte výsledný výraz do druhé rovnice a získejte rovnici s jednou proměnnou (y):

(2r + 4) / 3 + 3r = 5, odkud dostaneme:

y = 1

Nyní nahradíme nalezenou hodnotu y ve výrazu proměnnou x:

x = (2 * 1 + 4) / 3 = 2

Odpověď: x = 2, y = 1.

2

Řešení soustavy rovnic metodou sčítání (odčítání).

Tato metoda je redukována na násobení obou částí rovnic čísly (parametry) tak, že v důsledku toho se koeficienty jedné z proměnných shodují (možná s opačným znaménkem).

V obecném případě musí být obě strany první rovnice vynásobeny (-d) a obě strany druhé rovnice a. Výsledkem je:

-adx-bdу = -cd

adx + aey = af

Přidáním výsledných rovnic získáme:

-bdu + aeu = -cd + af, odkud dostaneme výraz pro proměnnou y:

y = (af-cd) / (ae-bd), nahrazením výrazu y v libovolné rovnici systému získáme:

ax + b (af-cd) / (ae-bd) = c?

z této rovnice najdeme druhou neznámou:

x = (ce-bf) / (ae-bd)

Příklad. Vyřešte soustavu rovnic sčítáním nebo odečtením:

3x-2r = 4

x + 3y = 5

Vynásobte první rovnici (-1) a druhou rovnicí 3:

-3x + 2r = -4

3x + 9y = 15

Sčítáním (po termínech) obě rovnice získáme:

11r = 11

Kde se dostaneme:

y = 1

Získanou hodnotu y nahradíme do kterékoli z rovnic, například do druhé dostaneme:

3x + 9 = 15, odkud

x = 2

Odpověď: x = 2, y = 1.