Jak řešit rovnice s kořeny
Video: Kvadratická rovnice - jak na to - rozklad a diskriminant 2024, Červenec
Někdy je v rovnicích znamení kořene. Mnoho studentů se zdá, že je velmi obtížné řešit takové rovnice „s kořeny“ nebo, přesněji řečeno, iracionální rovnice, ale není tomu tak.
Návod k použití
1
Na rozdíl od jiných typů rovnic, například kvadratických nebo lineárních soustav rovnic, neexistuje standardní algoritmus pro řešení rovnic s kořeny, nebo přesněji, iracionální rovnice. V každém konkrétním případě je nutné vybrat nejvhodnější způsob řešení na základě „vzhledu“ a vlastností rovnice.
Zvyšování částí rovnice na stejnou úroveň.
Nejčastěji se pro řešení rovnic s kořeny (iracionální rovnice) používá zvýšení obou stran rovnice na stejný stupeň. Zpravidla do stupně rovného stupni kořene (na druhou odmocninu, krychle na krychlový kořen). Je třeba mít na paměti, že když zvedne levou a pravou stranu rovnice rovnoměrně, může mít „extra“ kořeny. Proto by v tomto případě měli být získané kořeny zkontrolovány jejich nahrazením v rovnici. Zvláštní pozornost při řešení rovnic s čtvercovými (sudými) kořeny by měla být věnována rozsahu přípustných hodnot proměnné (ODZ). Někdy samotný odhad ODL stačí k vyřešení nebo významnému zjednodušení rovnice.
Příklad. Řešení rovnice:
√ (5x-16) = x-2
Vymezujeme obě strany rovnice:
(√ (5x-16)) ² = (x-2) ², odkud se postupně dostáváme:
5x-16 = x²-4x + 4
h²-4x + 4-5x + 16 = 0
h²-9x + 20 = 0
Při řešení získané kvadratické rovnice najdeme její kořeny:
x = (9 ± √ (81-4 * 1 * 20)) / (2 * 1)
x = (9 ± 1) / 2
x1 = 4, x2 = 5
Nahrazením obou nalezených kořenů do původní rovnice získáme správnou rovnost. Proto jsou obě čísla řešením rovnice.
2
Metoda zavedení nové proměnné.
Někdy je vhodnější najít kořeny „rovnice s kořeny“ (iracionální rovnice) zavedením nových proměnných. Ve skutečnosti je podstata této metody jednoduše redukována na kompaktnější záznam řešení, tj. namísto psaní objemného výrazu je pokaždé nahrazen legendou.
Příklad. Vyřešte rovnici: 2x + √x-3 = 0
Tuto rovnici můžete vyřešit kvadraturováním obou stran. Samotné výpočty však budou vypadat poněkud těžkopádně. Při zavádění nové proměnné bude rozhodovací proces mnohem elegantnější:
Představujeme novou proměnnou: y = √ x
Pak dostaneme obyčejnou kvadratickou rovnici:
2y² + y-3 = 0, s proměnnou y.
Při řešení výsledné rovnice najdeme dva kořeny:
y1 = 1 a y2 = -3 / 2, nahrazením nalezených kořenů ve výrazu novou proměnnou (y) získáme:
√ x = 1 a √ x = -3 / 2.
Protože druhá odmocnina nemůže být záporné číslo (pokud se nedotknete oblasti komplexních čísel), dostaneme jediné řešení:
x = 1.