Jak vypočítat plochu rovnoběžníku postaveného na vektorech

Na jakémkoli dvou nekolineárních a nenulových vektorech lze zkonstruovat rovnoběžník. Tyto dva vektory se zkrátí rovnoběžník, pokud zkombinujete jejich původ v jednom bodě. Dokončete strany obrázku.

Návod k použití

1

Vyhledejte délky vektorů, pokud jsou uvedeny jejich souřadnice. Nechť například vektor A má v rovině souřadnice (a1, a2). Pak je délka vektoru A | A | = √ (a1² + a2²). Podobně najdeme modul vektoru B: | B | = √ (b1² + b2²), kde b1 a b2 jsou souřadnice vektoru B v rovině.

2

Plocha rovnoběžníku je nalezena vzorcem S = | A | • | B | • sin (A ^ B), kde A ^ B je úhel mezi danými vektory A a B. Sinus lze najít pomocí kosinu pomocí základní trigonometrické identity: sin²α + cos²α = 1. Kosinus může být vyjádřen pomocí skalárního součinu vektorů zapsaných v souřadnicích.

3

Skalární produkt vektoru A vektorem B je označen (A, B). Podle definice se rovná (A, B) = | A | • | B | • cos (A ^ B). A v souřadnicích je skalární produkt psán takto: (A, B) = a1 • b1 + a2 • b2. Odtud můžeme vyjádřit kosinus úhlu mezi vektory: cos (A ^ B) = (A, B) / | A | • | B | = (a1 • b1 + a2 • b2) / √ (a1² + a2²) • √ (a2² + b2²). V čitateli skalární součin, ve jmenovateli délky vektorů.

4

Nyní můžeme vyjádřit sinus z hlavní trigonometrické identity: sin²α = 1-cos²α, sinα = ± √ (1-cos²α). Pokud předpokládáme, že úhel a mezi vektory je ostrý, mínus se sinusem může být vyřazen, přičemž zanechává pouze znaménko plus, protože sinus ostrého úhlu může být pouze kladný (nebo nula při nulovém úhlu, ale zde je úhel nenulový, je to zobrazeno ve stavu) nekolinearita vektorů).

5

Nyní musíme nahradit souřadný výraz kosinem v sinusovém vzorci. Poté zůstane pouze zapsat výsledek do rovnice rovnice rovnoběžníku. Pokud je vše hotovo a numerický výraz je zjednodušený, pak se ukáže, že S = a1 • b2-a2 • b1. Plocha rovnoběžníku konstruovaného na vektorech A (a1, a2) a B (bl, b2) je tedy nalezena vzorcem S = a1 • b2-a2 • bl.

6

Výsledná exprese je determinantem matice složené ze souřadnic vektorů A a B: a1 a2b1 b2.

7

Abychom získali determinant matice dimenze dva, musíme znásobit prvky hlavní úhlopříčky (a1, b2) a od této hodnoty odečíst součin prvků boční úhlopříčky (a2, b1).